Окружности (O1;R1) и (O2;R2) касаются внешним образом. O1A — касательная к окружности (O2;R2), O2B — касательная к окружности (O1;R1) (A и B — точки касания). Доказать, что точки A, B, O1, O2 лежат на одной окружности и найти её радиус, если известно, что AB = 10 и R1:R2 = 2:3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через M точку, в которой касательная O1A пересекает O2B. Так как O1A и O2B — касательные к окружностям (O2;R2) и (O1;R1) соответственно, то O1M = R1, O2M = R2. Также, так как AB — хорда окружности (O1;R1), а O1M — радиус этой окружности, то AM = BM = 5.

Треугольник AMB — равнобедренный, поэтому MB — медиана к стороне AB и BM = 5. Следовательно, BM = 2MB, откуда MB = 10. Так как MD = 10, то O1D = 10 (так как O1M = R1).

Теперь рассмотрим треугольник O1O2D. Так как O1O2 — сумма радиусов R1 и R2, то O1O2 = 5R1/2 + 5R2/2 = 5(R1 + R2)/2 = 5R/2, где R — радиус искомой окружности.

Заметим, что O1D = 10 и O1O2 = 5R/2. Так как треугольник O1O2D — прямоугольный, то по теореме Пифагора получаем:
(5R/2)^2 = 10^2 + R^2, откуда 25R^2/4 = 100 + R^2, 25R^2 = 400 + 4R^2, 21R^2 = 400, R^2 = 400/21, R = √(400/21) = 20/√21.

Теперь у нас есть радиус R и известно, что точки A, B, O1, O2 лежат на одной окружности.