В трапеции ABCD известно отношение оснований BC:AD = 2:3. O - точка пересечения диагоналей. S(треугольника ABO) = 5. Найти площадь трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB = a, CD = b, то BC = 2a и AD = 3b.

Так как O - точка пересечения диагоналей, то диагонали AC и BD пересекаются в O и делятся им пополам.

Обозначим точку пересечения диагоналей треугольника АВО через Е. Тогда треугольники ABЕ и CDE - подобные, и их соответственные стороны относятся как BC:AD = 2:3, то есть EC = 2/5 CD = 2/5 b.

Теперь найдем длину ОС. Возьмем ОС как высоту треугольника АВО. Так как треугольники ABЕ и CDE подобны, то AC/AB = DC/CE => AB DC = a3b = CEAC = 2bOC, отсюда OC = 3a/2.

Теперь найдем площадь треугольника ABO через стороны треугольника: S = 1/2ABOCsin∠AOB = 1/2a3a/2sin∠AOB = 5.

Таким образом, sin∠AOB = 10 / (3a^2).

Осталось найти высоту треугольника АВО, которая равна OCsin∠AOB = 3a^2 / 2 10 / (3a^2) = 5/2.

Теперь можем найти площадь трапеции ABCD: S = 1/2(AB+CD)h = 1/2(a+b)5/2 = 5/4*(a+b).

Используя соотношение BC:AD = 2:3, получаем: 2a:3b = a:b, отсюда a = 2b и заменяем в выражении для S:

S = 5/4(2b+b) = 5/43b = 15/4*b.

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 15/4*b.