245. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD
построены равносторонние треугольники DCN и ВСМ, расположенные с этим параллелограммом по разные стороны соответственно от ВС и CD. Доказать, что треугольник AMN равносторонний.
246. В параллелограмме ABCD проведены прямые Ал, и С, так, что углы DAC, и равны (точка А1 лежит на стороне CD, точка C1 - на стороне АВ). Доказать, что четырехугольник АВСД - параллелограмм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол BAD как alpha. Так как треугольники DCN и ВСМ равносторонние, у них углы равны 60 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник AMN. Угол MAN равен alpha+60 градусов, угол MNA равен 180-2*alpha градусов, так как угол в треугольнике равен 180 градусов. Заметим, что alpha+60 = 180-2alpha, т.е. alpha = 30.

Теперь рассмотрим треугольник AMN. Углы MAN, MNA и ANM равны, следовательно треугольник AMN равносторонний.

По условию задачи углы DAC и DBA равны. Также мы знаем, что у параллелограмма смежные углы дополнительны, т.е. угол ABC равен углу CDA.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Углы ABC и CBA равны, следовательно треугольник ABC равнобедренный. Отсюда следует, что угол BAC равен углу BCA. Также углы DAC и BCA равны.

Следовательно, четырехугольник ABCD - параллелограмм.