О-точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и АОВ равны 5 см и 5корень2 см соответственно. Найти величену угла С.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения биссектрис треугольника ABC как O. Также обозначим точку, в которой описанная окружность треугольника ABC касается стороны AC, как K.

Так как O лежит на биссектрисе угла C, то углы AOB и BOC равны между собой, и мы можем заметить, что треугольник AOK равнобедренный. Поэтому угол AOK равен углу A/2.

Также из того, что KO является радиусом описанной окружности треугольника АОК, равен радиусу окружности, описанной около треугольника АВС, получаем, что радиус описанной окружности треугольника АОК также равен 5 см.

Теперь обратим внимание на треугольник AOC. Он равнобедренный, так как угол AOC равен 180° - угол BOC = угол A. Таким образом, углы AOC и ACO равны между собой.

Теперь можем записать уравнение для тангенса угла C:

tg(С) = (AO-KO) / AK = (5√2 - 5) / (10/√2) = (√2 - 1) / 2.

Следовательно, угол C равен arctg((√2 - 1) / 2). Подставив это выражение в калькулятор, мы получаем значение угла С приблизительно равное 15°.