Вершины треугольника ABC делят описанную около него окружность на дуги AB, BC, CA, длины которых относятся как 3 : 4 : 5. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон треугольника равна 32.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус окружности равен R.
Тогда по свойствам описанной окружности, дуга AB равна 3R, дуга BC равна 4R, дуга CA равна 5R.

Так как меньшая сторона треугольника равна 32, то она равна перпендикуляру, проведенной к стороне треугольника. Обозначим эту высоту через h. Тогда площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

S = 0.5 32 h = 0.5 a R + 0.5 b R + 0.5 c R = 0.5 (a + b + c) R,

где a, b, c - длины сторон треугольника.

Из условия известно, что a + b + c = 3R + 4R + 5R = 12R.
Из этого следует, что 32 h = 6 R => h = 6R / 32 = 3R / 16.

Таким образом, S = 0.5 32 3R / 16 = 48R / 16 = 3R. Площадь треугольника ABC равна 3R.

С другой стороны, площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c)),
где p = (a + b + c) / 2 = 12R / 2 = 6R.

Таким образом, 3R = sqrt(6R(6R - 32)(6R - 4R)(6R - 5R)).
Упростив это выражение, получим R = 16.

Итак, радиус описанной окружности равен 16.