Отрезки AB и CD равны по длине и не параллельны. Найти геометрическое место всех точек M таких, что площадь треугольника AMB равна площади треугольника CMD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB = CD = l. Обозначим угол между отрезками AB и CD как α.

Так как треугольники AMB и CMD имеют равные площади, то их высоты, проведенные из точек A и C соответственно, равны. Обозначим высоту как h.

Рассмотрим треугольник AMC. Мы видим, что у него равны два угла - угол AMC и угол MAC (они равны, так как AM и CM равны по длине), и одна сторона равна - AC. Следовательно, треугольник AMC равнобедренный. Это значит, что высота h является медианой и биссектрисой данного треугольника, а также высотой треугольников AMB и CMD.

Отсюда следует, что геометрическое место всех точек M, для которых площадь треугольника AMB равна площади треугольника CMD, является симметричным относительно перпендикуляра к отрезкам AB и CD, проходящего через их середины.