В прямоугольной трапеции основания равны 12 см и 24 см, а острый угол равен 30 градусов. Найдите неизвестные стороны трапеции и ее площадь.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть b - меньшее основание трапеции, а h - высота трапеции.

Из теоремы косинусов в прямоугольном треугольнике ABH:
cos30 = b / x,
где x - это диагональ трапеции.

По теореме пифагора для треугольника ABH:
b^2 + h^2 = x^2.

Так как h = 6 см (так как 24 - 12 = 12, треугольник AHB разбивает трапецию на два прямоугольных треугольника, и один из них имеет катеты 6 см и 12 см), можем решить систему уравнений:

cos30 = b / x,
b^2 + 6^2 = x^2.

cos30 = √3 / 2, поэтому
b = x * √3 / 2,
b^2 + 36 = x^2.

Из этих двух уравнений:

(x * √3 / 2)^2 + 36 = x^2,
3x^2 / 4 + 36 = x^2,
3x^2 + 144 = 4x^2,
144 = x^2,
x = 12 см.

Теперь мы можем найти b:
b = 12 * √3 / 2,
b = 6√3 см.

Площадь трапеции равна (сумма оснований умноженная на высоту, деленная на 2):
S = ((12 + 24) * 6) / 2,
S = 108 см^2.

Таким образом, неизвестные стороны трапеции равны 6√3 см и 12 см, а ее площадь равна 108 квадратным сантиметрам.