В трапеции ABCD (AB||CD) на диагонали AC взята точка P и через нее проведена прямая MN параллельно прямой AB (точка M лежит на прямой AD, точкаN – на BC, Где на прямой AC надо взять точку P, чтобы сумма площадей треугольников APM и CPN была наименьшей

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения такой точки P на прямой AC, нужно провести высоты AM и CN из точек M и N на прямую AC. Обозначим эти высоты через h1 и h2 соответственно.

Пусть x будет длина отрезка AP, а AC = a. Тогда PC = a-x.

Площадь треугольника APM равна S1 = (xh1)/2
Площадь треугольника CPN равна S2 = ((a-x)h2)/2

Так как треугольники параллельны, высоты h1 и h2 равны. Тогда S1 + S2 = ((x+(a-x))h)/2 = (ah)/2.

Таким образом, сумма площадей треугольников APM и CPN не зависит от выбора точки P на прямой AC и равна (a*h)/2, где h - высота треугольников APM и CPN.

Получается, что наименьшая сумма площадей треугольников APM и CPN достигается, когда точка P находится посередине отрезка AC.