Докажите, что если каждая диагональ делит площадь четырехугольника пополам, что этот четырехугольник – параллелограмм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан четырехугольник ABCD, в котором каждая диагональ делит площадь на две равные части. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Так как диагональ делит площадь на две равные части, то S(∆AOB) = S(∆COD) и S(∆AOC) = S(∆DOB), где S - площадь.

Рассмотрим треугольники AOB и DOC. У них общая сторона AD и равные площади ∆AOB и ∆DOC. Поэтому эти треугольники равны и соответственно равны стороны AB и DC.

Аналогично, рассмотрим треугольники AOC и DOB. У них общая сторона AD и равные площади ∆AOC и ∆DOB. Поэтому эти треугольники равны и соответственно равны стороны AC и BD.

Из полученных равенств следует, что AB=CD и AC=BD. Таким образом, четырехугольник ABCD имеет противоположные стороны, равные по длине, и углы, смежные с равными сторонами, равные по величине. Следовательно, ABCD - параллелограмм.