Треугольник задан координатами своих вершин A (-4;1), B (0;1), C(-2;4). Докажите, что угол A равен углу B.Найдите длину высоты CD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала вычислим длины сторон треугольника ABC:

AB = sqrt((0+4)^2 + (1-1)^2) = 4

BC = sqrt((0+2)^2 + (1-4)^2) = sqrt(4+9) = sqrt(13)

AC = sqrt((-2+4)^2 + (4-1)^2) = sqrt(9+9) = sqrt(18) = 3 * sqrt(2)

Теперь найдем углы треугольника:

Угол A = arccos((AC^2 + AB^2 - BC^2)/(2 AC AB)) = arccos((18 + 16 - 13)/(6 * sqrt(2))) = arccos(21/6sqrt(2))

Угол B = arccos((AB^2 + BC^2 - AC^2)/(2 AB BC)) = arccos((16 + 13 - 18)/(2 4 sqrt(13))) = arccos(11/4sqrt(13))

Теперь, чтобы доказать, что угол A равен углу B, мы должны показать, что arccos(21/6sqrt(2)) = arccos(11/4sqrt(13))

Для этого сравним значения внутри арккосинуса: 21/6sqrt(2) = 11/4sqrt(13)

21/6sqrt(2) = 7/2sqrt(2) = 11/4sqrt(13) = 11/2sqrt(13)

Так как 7/2sqrt(2) не равно 11/2sqrt(13), угол A не равен углу B.

Теперь найдем длину высоты CD. Для этого можно использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACD:

CD = sqrt(AC^2 - AD^2) = sqrt(18^2 - 3^2) = sqrt(324-9) = sqrt(315) = 3 * sqrt(35)