Решить линейное однородное дифференциальное уравнение у''-8y'-16у=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами нужно найти характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение получается из исходного уравнения заменой y'' = r^2y, y' = ry, где r - это параметр:

r^2y - 8ry - 16y = 0

r^2 - 8r - 16 = 0

Далее находим корни характеристического уравнения:

r1,2 = (8 ± √(8^2 - 41(-16))) / 2*1
r1,2 = (8 ± √(64 + 64)) / 2
r1,2 = (8 ± √128) / 2
r1,2 = (8 ± 4√2) / 2
r1 = 4 + 2√2
r2 = 4 - 2√2

Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y''-8y'-16y=0 имеет вид:

y(t) = c1 e^(r1t) + c2 e^(r2t)

где c1, c2 - произвольные постоянные.