Основания трапеции равны 4 и 9. Площадь трапеции равна 39. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания трапеции равны a = 4 и b = 9, а высота h - неизвестная. Тогда площадь трапеции можно выразить следующим образом:

S = (a + b) h / 2
39 = (4 + 9) h / 2
39 = 13 * h / 2
h = 78 / 13
h = 6

Теперь найдем боковые стороны трапеции, они равны:

c = √(b-a)^2 + h^2
c = √(9-4)^2 + 6^2
c = √5^2 + 6^2
c = √25 + 36
c = √61

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

r = S / (p / 2)
r = 39 / ((a + b + c) / 2)
r = 39 / ((4 + 9 + √61) / 2)
r = 39 / ((13 + √61) / 2)
r = 39 / (13 + √61) 2
r = 78 / (13 + √61)
r = 78 / 13 + √61) (13 - √61) / (13 + √61) (домножим и разделим на (13 - √61))
r = 78 (13 - √61) / 13^2 - 61
r = 78 13 - 78 √61 / 169 - 61
r = (78 13 - 78 * √61) / 108
r = (1014 - 78√61) / 108

Таким образом, радиус вписанной в трапецию окружности равен (1014 - 78√61) / 108.