В правильной треугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом альфа. Расстояние от основания высоты пирамиды до её апофемы равно l. Найдите: а) апофему пирамиды; б) боковую поверхность пирамиды

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона основания треугольника пирамиды равна a.

а) Апофема пирамиды равна l. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в который вписана боковая грань пирамиды. Тогда катет этого треугольника равен l, а один из острых углов равен α. Тогда, применив теорему синусов для этого треугольника, получаем:

l = a*sin(α).

Зная это соотношение и зная, что a = l/cos(α) (по теореме Пифагора для основания пирамиды), можем найти апофему пирамиды:

lsqrt(1 + sin^2(α)) = l/sin(α)sqrt(1 + sin^2(α)) = lcos(α)sqrt(1 + sin^2(α)) = l*sqrt(cos^2(α) + sin^2(α)) = l.

Таким образом, апофема пирамиды равна l.

б) Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей треугольников, образующих эту поверхность. В данном случае это будут четыре равнобедренных треугольника со сторонами равными l, a и l*sqrt(1 + sin^2(α)). Площадь одного такого треугольника равна:

S = 0.5ll*sin(α).

Таким образом, общая площадь боковой поверхности пирамиды будет равна:

S_б = 40.5llsin(α) = 2l^2sin(α).