1 В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой МN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как ОК = 9 см, то мы знаем, что треугольник ONK - прямоугольный.
Поэтому ОН - это расстояние от точки О до прямой МN.
Теперь нам нужно найти длину ОН.
Сначала найдем длину KN:
KN = NK = 2 OK = 2 9 см = 18 см.
Теперь, так как треугольник MNP - остроугольный, то ОН = ОК sin М.
Синус угла М можно найти, зная, что биссектриса угла М делит его на два равных угла, поэтому sin М = sin ∠MKN = sin(∠MNK / 2).
Угол ∠MNK равен arcsin(KN/NP) = arcsin(18/MP).
Теперь нам нужно найти длину MP.
Так как треугольник ONM подобен треугольнику ONK, то отсюда получаем, что
OM/ON = NP/KN,
откуда MP = KN (OM/ON) = 18 1/2 = 9 см.
Теперь возвращаемся к формуле sin М = sin ∠MKN = sin(∠MNK / 2) и находим длину длину ОН:
OH = OK sin М = 9 sin(arcsin(18/9 1/2)) = 9 sin 37.5° ≈ 9 0.6018150232 ≈ 5.42 см.

Ответ: расстояние от точки О до прямой МN равно примерно 5.42 см.