В трапеции основания АД и ВС равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании равна 90 градусов. Найти радиус окружности, проходящий через точки А и В и касающийся прямой СД. если АВ=10

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим центр окружности как O, а точку касания с прямой СD как М. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к АВ, то ОА = ОВ = 5. Также ОМ ⊥ СД, значит OМ ⊥ СМ, поэтому ОМ - это высота трапеции. Пусть ОМ = h.

Так как OA = OB = 5, то ОA^2 + AM^2 = 5^2 и ОВ^2 + BM^2 = 5^2. Так как ABCD - трапеция, то AM = BM. Также так как AM+BM=36-10=26, то 2AM = 26, AM = 13. Таким образом имеем:

5^2 + 13^2 = ОА^2 + АМ^2 = ОА^2 + (ОМ + МА)^2 = ОА^2 + (ОМ^2 + 2ОММА + МА^2) = ОА^2 + ОМ^2 + 2ОММА + МА^2.

Отсюда: 5^2 + 13^2 = 5^2 + h^2 + 2*5h + 13^2.

Решив это уравнение, находим h=12.

Теперь найдем радиус окружности. Так как радиус ОА = 5, то ОВ = 5 + 12 = 17. Треугольник ОВМ - прямоугольный, значит ОВ^2 = ОМ^2 + МВ^2. Решив это уравнение, находим, что радиус окружности равен 8.