Средняя линия трапеции равна отрезку, который соединяет середины основ. Докажите, что диагонали этой трапеции перпендикулярны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основы трапеции как $a$ и $b$, а диагонали как $p$ и $q$. Таким образом, средняя линия равна $\frac{a + b}{2}$.

Поскольку средняя линия является отрезком, соединяющим середины основ трапеции, она также является основанием прямоугольника, образованного диагоналями и этой линией. Таким образом, диагонали $p$ и $q$ прямоугольника будут равны.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный средней линией, диагональю $p$ и половиной основы $a/2$. Поскольку средняя линия равна $\frac{a + b}{2}$, а половина основы равна $a/2$, мы видим, что диагональ $p$ является медианой в этом треугольнике.

По свойству медианы в треугольнике, мы знаем, что медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями. Таким образом, мы можем заключить, что площади треугольников, образованных диагональю $p$ и диагональю $q$, будут равны.

Поскольку площади этих треугольников равны, а высота обоих треугольников равна диагонали, мы получаем, что диагонали $p$ и $q$ перпендикулярны друг другу.