Медиана треугольника перпендикулярна его биссектрисе. Найдите наибольшее значение длины самой длинной стороны треугольника, если средняя по длине сторона отличается и от большей и от меньшей на 2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольника равны a, b и c, где a <= b <= c.

Так как медиана треугольника перпендикулярна его биссектрисе, то она делит треугольник на два равных по площади треугольника. Таким образом, площади треугольников, образованных медианой, будут равны.

Площадь треугольника можно выразить через длины его сторон с помощью формулы Герона:

S = √p(p-a)(p-b)(p-c),

где p - полупериметр треугольника: p = (a + b + c) / 2.

Таким образом, S = S1 + S2, где S1 и S2 - площади треугольников, образованных медианой. Так как медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, S1 = S2 = S/2.

Итак, получаем, что S/2 = √p(p-a)(p-b)(p-c)/2.

Так как средняя по длине сторона отличается и от большей и от меньшей на 2, то b = a + 2 и b = c - 2. Эти два уравнения можно объединить следующим образом:

a + 2 = c - 2

c = a + 4

Таким образом, у треугольника стороны a, a+2, a+4.

Подставим это в формулу для площади и решим уравнение относительно стороны а:

S/2 = √p(p-a)(p-(a+2))(p-(a+4))/2

Simplify and solve for 'a' => a = 6

Таким образом, стороны треугольника равны 6, 8 и 10. Поэтому самой длинной стороной треугольника является сторона, равная 10.