В трапеции ABCD даны основания AD=8, BC=4. На продолжении BC выбрана точка М такая, что АМ отсекает от трапеции треугольник, площадь которого в 4 раза меньше площади трапеции. Найти длину отрезка СМ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту трапеции h, тогда площадь трапеции равна (AD + BC)h/2 = 6h
Площадь треугольника AMB равна (MCAB)/2 = MC6
Так как площадь треугольника AMB в 4 раза меньше площади трапеции, то MC6 = 6h/4 = 1.5h
Отсюда получаем, что MC = 1.5h/6 = h/4.

Также заметим, что треугольник AMB подобен треугольнику ADC (по признаку угол-прямоугольник), а значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны
Так как CD = AD - BC = 8 - 4 = 4, то AM/AB = h/(BC/2) = 2h/4 = h/2
Отсюда получаем, что MC/CD = h/4 / 4 = h/16, следовательно, MC = h/16 CD = h/16 4 = h/4.

Теперь мы видим, что отрезок СМ равен высоте трапеции h. Осталось найти эту высоту.

Рассмотрим треугольник ACD. Он прямоугольный, поэтому применим теорему Пифагора:

AC^2 = AD^2 - CD^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48
AC = √48 = 4√3.

Теперь можем выразить высоту h через AC
h = AC/2 = 4√3 / 2 = 2√3.

И, наконец, находим длину отрезка СМ
CM = h = 2√3.