Противоположные стороны вписанного четырехугольника равны a и b. Угол между диагоналями, обращённый к заданным сторонам, равен a(альфа). Найдите радиус описанной окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть диагонали четырехугольника пересекаются в точке O. Обозначим радиус описанной окружности как R.

Так как обе диагонали являются диаметрами этой окружности, то точка O является центром описанной окружности. Таким образом, треугольник OAD (где D - середина стороны а, смежной с а) - прямоугольный.

Из теоремы синусов для треугольника OAD получаем:

a/2R = sin(a/2)

где R - радиус описанной окружности.

Так как угол между диагоналями четырехугольника равен а, то он также является углом треугольника OAD.

Теперь из теоремы синусов для треугольника OAC (где C - середина стороны b) получаем:

b/2R = sin(a/2)

Делим одно уравнение на другое:

(a/b) = (sin a/2) / (sin a/2) = 1

Отсюда следует, что а = b

Таким образом, данное условие азначает, что четырехугольник является ромбом, а его диагонали пересекаются в прямом угле. Радиус описанной окружности равен половине длины стороны четырехугольника:

R = a/2 = b/2.

Итак, радиус описанной окружности равен половине длины любой стороны четырехугольника.