1. из точки А вне окружности проведены секущая, длиной 12 см и касательная, длина которой в 2 раза меньше отрезка секущей, находящегося внутри окружности. найдите длину касательной. 2.из точки на окружности проведены 2 хорды длиной 10 см и 12 см. известно что расстояние от середины меньшей хорды до большей хорды равно 4 см. найдите радиус окружности 3.из точки A вне окружности проведены две секущие ABC и ADK AC=20 см AK= 25см AB=DK. найдите DK

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть отрезок секущей, который находится внутри окружности, равен а см. Тогда касательная равна а/2 см. По теореме о касательных к окружности, произведение отрезков секущей равно квадрату длины касательной, то есть:
12 * а = (а/2)^2
12а = а^2/4
48 = а/4
а = 48 / 4 = 12 см
Значит, длина касательной равна 12/2 = 6 см.

Пусть радиус окружности равен r см. Тогда по свойству хорд, расстояние от середины хорды до центра окружности равно половине расстояния между точками пересечения хорды с окружностью. Получаем:
(10/2 + 12/2) = √(r^2 - 5^2) + √(r^2 - 6^2)
11 = √(r^2 - 25) + √(r^2 - 36)
121 = r^2 - 25 + 2√((r^2 - 25)(r^2 - 36)) + r^2 - 36
242 = 2r^2 - 61 + 2√((r^2 - 25)(r^2 - 36))
2√((r^2 - 25)(r^2 - 36)) = 303 - 2r^2
√((r^2 - 25)(r^2 - 36)) = 151 - r^2
(r^2 - 25)(r^2 - 36) = (151 - r^2)^2
r^4 - 61r^2 + 900 = 22801 - 302r^2 + r^4
241r^2 = 21901
r^2 = 21901 / 241
r ≈ √90.674 = 9.523 см

Так как AC и AK - секущие из точки А, то AB и DK - взаимно перпендикулярные отрезки. Также, известно, что DK = AB. Рассмотрим треугольник ABD. По теореме Пифагора:
AB^2 + AD^2 = BD^2
АК^2 + АС^2 = 25^2 + 20^2 = 625 + 400 = 1025
BD^2 = 1025
Но так как DK = AB, то BD = 2DK
(2DK)^2 = 1025
4DK^2 = 1025
DK^2 = 1025 / 4 = 256,25
DK ≈ √256,25 = 16, см

Итак, длина DK составляет 16 см.