Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с одной его боковой гранью угол 30 градусов, а с другой угол 45 градусов. Найдите объем, если длина его диагонали 12 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длины сторон параллелепипеда равны a, b, c, тогда диагональ параллелепипеда равна:

d^2 = a^2 + b^2 + c^2

Так как длина диагонали равна 12 см, имеем

144 = a^2 + b^2 + c^2

Также из условия задачи можно выразить стороны a, b, c через длину диагонали и углы:

cos(30) = a/d, => a = 12 cos(30) = 12 sqrt(3)/2 = 6sqrt(3)
cos(45) = b/d, => b = 12 cos(45) = 12 sqrt(2)/2 = 6sqrt(2)

То есть имеем
a = 6sqrt(3) см
b = 6sqrt(2) см

Подставим значения a и b:
144 = (6sqrt(3))^2 + (6sqrt(2))^2 + c^2
144 = 108 + 72 + c^2
144 = 180 + c^2
c^2 = 36
c = 6 см

Таким образом, объем параллелепипеда равен:

V = a b c = 6sqrt(3) 6sqrt(2) 6 = 216√6 см^3.