В выпуклом четырехугольнике ABCD выполнены соотношения: ∠DAB = ∠ABC = 60 и ∠CAB = ∠CBD. Докажите, что AD + CB = AB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Проведем биссектрису угла DAB, которая будет равна биссектрисе угла ABC, так как ∠DAB = ∠ABC = 60. Обозначим точку их пересечения как E.

Так как ∠CAB = ∠CBD, то треугольники ABE и CEB подобны по признаку углов.

Отсюда получаем, что AB/BE = BE/BC, то есть AB*BC = BE^2

Аналогично, так как ∠CAB = ∠CBD, то треугольники ADB и CDB подобны, следовательно AD/BD = BD/BC, то есть AD*BC = BD^2.

Сложим два полученных уравнения: ABBC + ADBC = BE^2 + BD^2.

По теореме Пифагора в треугольнике BDE получаем BE^2 + BD^2 = DE^2.

Подставляем это в предыдущее уравнение: ABBC + ADBC = DE^2.

Так как DE = AD + BC (по построению), то ABBC + ADBC = (AD + BC)^2.

Раскрываем квадрат справа: ABBC + ADBC = AD^2 + 2ADBC + BC^2.

Так как ABBC = ADBC (из равенства BE^2 и BD^2), то:

ADBC + ADBC = AD^2 + 2ADBC + BC^2

2ADBC = AD^2 + 2ADBC + BC^2

AD*BC = AD^2 + BC^2.

Теперь применяем неравенство между средним и крайним в треугольнике длин сторон: AD*BC ≤ (AD + BC)^2.

Так как AD*BC = AD^2 + BC^2, то AD^2 + BC^2 ≤ (AD + BC)^2.

Отсюда получаем, что AD + BC ≥ AB, но так как AB = AD + BC (по построению), то AD + BC = AB.

Таким образом, мы доказали, что в выпуклом четырехугольнике ABCD выполнено равенство AD + CB = AB.