Вычислить проекцию вектора b на вектор c и объем параллелепипеда,построенного на векторах а,b,c,если вектор а=(2;-3;3), b=(4,1,5), с=(0;3;-4)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Проекция вектора b на вектор c
Для вычисления проекции вектора b на вектор c используем формулу
proj_c b = (b c) / |c|^2 c

Где "*" обозначает скалярное произведение векторов, "|" - длину вектора.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов b и c
b c = 40 + 13 + 5(-4) = -17

Теперь найдем длину вектора c
|c| = sqrt(0^2 + 3^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Теперь можем найти проекцию вектора b на вектор c
proj_c b = (-17) / 25 * (0, 3, -4) = (0, -3.4, 4.5)

Ответ: proj_c b = (0, -3.4, 4.5)

Объем параллелепипеда
Для вычисления объема параллелепипеда построенного на векторах a, b, c, используем смешанное произведение векторов:

V = |a b c|

Где "|" обозначает определитель матрицы из компонент векторов.

Запишем компоненты векторов a, b, c в виде матрицы:

a = |2 -3 3
b = |4 1 5
c = |0 3 -4|

Теперь найдем смешанное произведение и определитель матрицы
V = |2 -3 3
|4 1 5
|0 3 -4
= 2(1(-4) - 35) - (-3(4(-4) - 50) + 3(43 - 10)
= 2(-20) - (-3(-16) + 312
= -40 - (48 + 36
= -40 - 8
= -124

Ответ: объем параллелепипеда V = 124.