Дана трапеция. Большее основание АВ, меньшее ВС. АС и BD - диагонали. MN - средняя линия. Пересекаются в точке К на диагонали АС, точка L на BD. Доказать, что KL=AD-BC/2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точки: АВ = a, с = b, AC = d, BD = e. Тогда AD = a + d, BC = b + c.

Также заметим, что треугольники AKD и CLK подобны по теореме об угловой средней линии в треугольнике. То есть:

CK/CL = AD/AK

CK = AD CL / AK
CK = (a + d) CL / (d + e)

Теперь заметим, что треугольники CKD и BKC подбны по общей стороне CK и по углу K. То есть:

BC/CK = BK/DC

BK = BC CK / DC
BK = (b + c) (a + d) CL / ((b + c) + e) (d + e)

Теперь найдем KL:

KL = KC + LC
KL = CK sin(∠KCB) + CL sin(∠KBC)
KL = CK / BC BC + CL / AD AD
KL = CK / BC BC + CL / AD AD
KL = (a + d) CL / ((d + e) + b) + CL / AD (a + d)
KL = CL a + CL d / (2d + e) + CL a + CL d
KL = 2 CL (a + d) / (2 d + e)
KL = 2 CL AD / (2 d + e)

Подставим полученные значения для CK, CL и AD:

KL = 2 (a + d) CL / (2 d + e)
KL = 2 (a + d) (d + e) / (2 d + e)
KL = (2 ad + 2 ae + 2 d^2 + 2 de) / (2 d + e)
KL = 2 (ad + ae + d^2 + de) / (2 d + e)
KL = 2 (a (d + e) + d (d + e)) / (2 d + e)
KL = 2 (a + d) (d + e) / (2 d + e)

Теперь сравниваем с полученным ранее значением KL:

KL = 2 (a + d) (d + e) / (2 d + e) = 2 CL AD / (2 d + e)

Значит, KL = AD - BC / 2. Доказано.