1. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN. 2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите длину гипотенузы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть расстояние от точки О до прямой MN равно х. Так как ОК является высотой треугольника MNP, то треугольник MOK равнобедренный, поэтому МО = КО = 9 см. Также угол МОН равен углу КОН, так как ОК является биссектрисой угла М. Следовательно, треугольник MON равнобедренный, а значит перпендикуляр из вершины треугольника опущен на основание.
Таким образом, треугольник MOK подобен треугольнику MNP с коэффициентом подобия равным соотношению сторон:
( \frac{MO}{MN} = \frac{KO}{NP} = \frac{MO}{MO + x} )
( \frac{9}{9 + x} = \frac{9}{NP} )
( NP = \frac{9x}{9 + x} )

Пусть меньший катет треугольника равен а см, а гипотенуза b см. Тогда по условию b + a = 42 см и угол между гипотенузой и меньшим катетом равен 60 градусов.
Применим теорему косинусов:
( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(60^\circ) )
( b^2 = a^2 + c^2 - ac )
Так как прямоугольный треугольник, то также выполняется ( b^2 = a^2 + c^2 )
Подставляем это в уравнение и получаем:
( a^2 + c^2 = a^2 + a \cdot c )
( c = a )
Из условия b + a = 42 см получаем b + c = 42 см, а так как c = a, то b + a = 42 см
Таким образом, гипотенуза равна 21 см.