1)В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит ее пополам и образует со стороной ВС угол 30 градусов, АВ = 12 см. Найдите периметр параллелограмма. 2)В параллелограмме ABCD биссектрисы углов А и С пересекают стороны ВС и AD в точках М и К соответственно так, что АК=4 см, ВМ=6 см. Найдите периметр ABCD. 3)На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты точки К и М соответственно. Отрезки ВМ и KD пересекаются в точке О; угол BOD=140 градусов, угол DKB=110 градусов, угол BMC=90 градусов. Найдите углы параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Обозначим сторону параллелограмма, которая делится высотой, за (x). Тогда по условию задачи имеем, что (AB = 12) см, (BC = x), (AD = x), (\angle{C} = 30^\circ). Из свойств параллелограмма знаем, что противоположные стороны равны, т.е. (BC = AD), и что у параллелограмма сумма длин противоположных сторон равна периметру. Имеем систему уравнений:

[
\begin{cases}
12 + 12 = 2x\
x = 24/2 = 12
\end{cases}
]

Таким образом, BC = AD = 12 см, а периметр параллелограмма равен (2(12+12) = 48) см.

2) Также обозначим стороны параллелограмма за (a) и (b). Так как биссектрисы углов делят стороны на равные отрезки, имеем, что (BM = CM = 6) см, (AK = CK = 4) см. Тогда периметр параллелограмма равен (2(a + b)). Из уравнений:

[
\begin{cases}
a + b = 12\
6 + 4 = 10
\end{cases}
]

Получаем, что (a = 6) см, (b = 6) см, и периметр равен (2(6 + 6) = 24) см.

3) Заметим, что треугольники BOD и BKC подобны по двум углам (угол B общий у них, углы BOD и BKC прямые), поэтому (\angle{BDO} = \angle{BCK}) и (\frac{BD}{BK} = \frac{DO}{CK}), или же (BD/DO = BK/CK). Аналогично, треугольники BMC и MOC подобны, поэтому (MC/MO = BC/BO).

Таким образом, угол BOD = 140° и угол BMC = 90° дают нам угол BCK = 140° и угол MCO = 90°.

Итак, имеем данные треугольники: треугольник BKM, в котором известны углы B = 140°, угол K = 110°, треугольник MBK, в котором два из трех углов известны. Так как сумма углов треугольника равна 180°, можем найти третий угол и определить треугольники.

Наконец, найдем углы ABCD, зная, что у параллелограмма смежные углы равны.