1) Докажите, что в равных треугольниках высоты проведенные к соответственным сторонам равны. 2) Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы соответсвенных углов равны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Пусть даны два равных треугольника ABC и A'B'C', где AB = A'B', BC = B'C' и АС = А'C'. Проведем высоты AD и A'D' из вершин A и A' к сторонам BC и B'C' соответственно.

Так как треугольники ABC и A'B'C' равны, значит у них соответственные углы также равны.

Из условия равенства углов следует, что треугольники ADB и A'D'B' подобны по двум сторонам и, следовательно, отношение высот AD и A'D' к сторонам BC и B'C' будет одинаково.

Так как AB = A'B' и углы при вершинах А и A' равны, значит у треугольников ADB и A'D'B' соответственные стороны при вершинах AD и A'D' равны.

Следовательно, высоты проведенные к соответственным сторонам равных треугольников также равны.

2) Пусть даны два равных треугольника ABC и A'B'C', где AB = A'B', BC = B'C' и АС = А'C'. Проведем биссектрисы углов A и A' треугольников ABC и A'B'C' соответственно. Обозначим их через AM и A'M'.

Так как треугольники ABC и A'B'C' равны, значит у них соответственные углы также равны.

Покажем, что треугольники AMC и A'M'C' подобны. У них равны углы при вершине А и прямые углы при вершине М, также у них равны углы AMС и A'M'C' соответственно (это следует из равенства треугольников ABC и A'B'C'). Значит, треугольники AMC и A'M'C' подобны.

Аналогично можно показать, что треугольники AMB и A'M'B' также подобны.

Из того, что треугольники AMC и A'M'C', а также AMB и A'M'B' подобны, следует, что отношения биссектрис к соответственным сторонам будут одинаковыми.

Следовательно, биссектрисы углов в равных треугольниках равны.