1) даны векторы m=(1;0) и n=(0;1). является ли перпендикулярными векторы: 2m+n и m-2n2) даны точки А(1;1), B(2;3), С (0;4), D(-1;2). докажите, что четырехугольник ABCD - прямоугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для того чтобы векторы были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно 0
Рассчитаем скалярное произведение для векторов 2m+n и m-2n
2m+n = 2(1;0) + (0;1) = (2;0) + (0;1) = (2;1
m-2n = (1;0) - 2(0;1) = (1;0) - (0;2) = (1;-2)

Теперь найдем скалярное произведение
(2;1) (1;-2) = 21 + 1*(-2) = 2 - 2 = 0

Таким образом, векторы 2m+n и m-2n действительно являются перпендикулярными.

2) Для доказательства того, что четырехугольник ABCD - прямоугольник, нужно показать, что его стороны AB, BC, CD и DA перпендикулярны друг другу.

Для этого рассчитаем векторы для каждой из сторон
AB = B - A = (2;3) - (1;1) = (1;2
BC = C - B = (0;4) - (2;3) = (-2;1
CD = D - C = (-1;2) - (0;4) = (-1;-2
DA = A - D = (1;1) - (-1;2) = (2;-1)

Теперь найдем скалярные произведения для каждой пары сторон
AB BC = (1;2) (-2;1) = 1(-2) + 21 = -2 + 2 =
BC CD = (-2;1) (-1;-2) = -2(-1) + 1(-2) = 2 - 2 =
CD DA = (-1;-2) (2;-1) = -12 + (-2)(-1) = -2 + 2 =
DA AB = (2;-1) (1;2) = 21 + (-1)2 = 2 - 2 = 0

Таким образом, каждая пара сторон прямоугольника ABCD перпендикулярна друг другу, что и доказывает, что четырехугольник ABCD - прямоугольник.