1) Даны векторы a (0;1) и b (2;1). При каком значении х вектор b+xa перпендикулярен вектору b? 2) Векторы AB (3;4) и AD (4;3) яляются сторонами параллелограмма ABCD. Определите величину угла между его диагоналями. Варианты ответов: а) 45 градусов б) 90 градусов в) 30 градусов г) 75 градусов д) 60 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Вектор b+xa перпендикулярен вектору b тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0: b(b+xa) = 0. Раскроем скобки и получим: bb + bxa = 0. Так как вектор bxa = x(bb), то уравнение примет вид: bb + x(bb) = 0. Подставим значения векторов b и решим уравнение: (22 + 11) + x(22 + 11) = 0 => 5 + 5x = 0 => x = -1. Итак, при x = -1, вектор b+xa будет перпендикулярен вектору b.

2) Угол между диагоналями параллелограмма равен углу между векторами, образованными этими диагоналями. Найдем косинус угла между векторами AB и AD, а затем найдем этот угол. Косинус угла между векторами определяется как cos(угол) = (ABAD) / (|AB| |AD|), где ABAD - скалярное произведение векторов, |AB| и |AD| - их длины. Подставим значения векторов и рассчитаем: (34 + 43) / (√(3^2 + 4^2) √(4^2 + 3^2)) = 24 / (5*5) = 24 / 25. Теперь находим угол, соответствующий найденному косинусу, arccos(24/25) ≈ 21.8 градуса. Ответ: в) 30 градусов.