Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите что сумма площадей треугольника BEC и AED равны половине площади параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Проведем диагонали параллелограмма ABCD. Обозначим их точкой пересечения как F.

Так как F - точка пересечения диагоналей, то треугольник AFB и CFD являются подобными (по признаку общей вершины и угла).

Теперь найдем площади треугольников AFB и CFD:

S(AFB) = (AF BF) / 2
S(CFD) = (CF DF) / 2

Так как треугольники подобные, то их отношения сторон равны:
AF / CF = BF / DF

Отсюда следует, что:
AF DF = CF BF

Сумма площадей треугольников BEC и AED равна:
S(BEC) + S(AED) = (BF EC) / 2 + (AE ED) / 2
S(BEC) + S(AED) = (BF EC + AE ED) / 2

Теперь вспомним, что AE + EB = AD и ED + DC = EC:
BF EC + AE ED = (BF EC + AE (AD - EB))
(BF EC + AE ED) = (BF EC + AE (AD - EB))
(BF EC + AE ED) = (BF EC + AE AD - AE EB)
(BF EC + AE ED) = AD (BF + AE) - AE EB
(BF EC + AE ED) = AD AD - AE EB
(BF EC + AE ED) = AD AD - AE EB
(BF EC + AE ED) = AD AD - AE (AD - BE)
(BF EC + AE ED) = AD BE
(BF EC + AE ED) = AF * FD

Таким образом:
S(BEC) + S(AED) = (BF EC + AE ED) / 2 = S(ABCD) / 2

Таким образом, сумма площадей треугольников BEC и AED равны половине площади параллелограмма ABCD.