1) Конус вписан в пирамиду, основанием которой служит равнобедренная трапеция, основания которой равны 2 и 8 см. Объем конуса равен (8П*корень из 3)\ 3 см^3. Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основания.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота равнобедренной трапеции равна h, а радиус основания конуса равен r. Так как конус вписан в пирамиду, то его вершина касается вершин всех четырех боковых граней пирамиды.

Объем конуса выражается формулой V = (1/3)Пr^2h. Дано, что V = (8Пsqrt(3))/3. Так как площадь основания пирамиды равна S = (1/2)(2 + 8)h = 5h, то объем пирамиды выражается формулой V_p = (1/3)5h5sqrt(3)/2 = 5sqrt(3)*h^3/6.

Так как конус вписан в пирамиду, то V = V_p, откуда 5sqrt(3)h^3/6 = (8П*sqrt(3))/3 и, следовательно, h = 6.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами h и 3 (половина основания трапеции). Тогда угол наклона боковой грани конуса к плоскости основания равен arctg(h/3) = arctg(6/3) = arctg(2) ≈ 63.43°.

Итак, угол наклона боковых граней к плоскости основания равен примерно 63.43 градуса.