Найдите длины сторон прямоугольного треугольника, если известно, что один из катетов на 1 см меньше гипотенузы, а другой - на 2 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина гипотенузы равна ( x ) см, тогда один из катетов будет равен ( x - 1 ) см, а другой ( x - 2 ) см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника
[ (x - 1)^2 + (x - 2)^2 = x^2 ]

Раскроем скобки и решим уравнение
[ x^2 - 2x + 1 + x^2 - 4x + 4 = x^2
[ 2x^2 - 6x + 5 = x^2
[ 2x^2 - 6x + 5 - x^2 = 0
[ x^2 - 6x + 5 = 0 ]

Решим это уравнение с помощью квадратного уравнения
[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 ]

[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
[ x_1 = 5 \text{ см, } x_2 = 1 \text{ см} ]

Таким образом, длина гипотенузы равна 5 см, а катеты равны 4 см и 3 см.