№1. Из вершины С прямоугольника ABCD, у которого АВ=16 см, ВС=12 см, проведен к плоскости перпендикуляр СК. Прямая ВК образует с плоскостью прямоугольника угол 30°. Найти угол между прямой АК и плоскостью прямоугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину отрезка ВК.

Из данного условия мы знаем, что прямая ВК образует с плоскостью прямоугольника угол 30°
Так как прямые ВК и СК перпендикулярны, угол между ВК и плоскостью прямоугольника также равен 30°.

Теперь рассмотрим треугольник ВКС. ВК - гипотенуза, у которой СК - катет и угол между ними 30°
Нам дано, что ВС = 12 см, значит по теореме Пифагора найдем длину отрезка ВК
12^2 + х^2 = ВК^2
144 + х^2 = ВК^2

Косинус угла между ВК и АК
cos(x) = AC / VK
cos(x) = 16 / ВК
cos(x) = 16 / √(144 + х^2).

Теперь мы знаем, что cos(30°) = √3 / 2, тогд
√3 / 2 = 16 / √(144 + х^2)
√3 * √(144 + х^2) = 32
144 + x^2 = 32^2 / 3
144 + x^2 = 1024 / 3
x^2 = 1024 / 3 - 144
x^2 = 256
x = 16.

Теперь мы можем найти угол между прямой АК и плоскостью прямоугольника
Так как ВК = 16 см, то АК = √(16^2 + 16^2) = √(256 + 256) = √512 = 16√2 см.

Косинус угла между прямой АК и плоскостью прямоугольника
cos (y) = 16 / (16√2)
cos (y) = 1 / √2
cos (y) = √2 / 2
y = arccos(√2 / 2) = 45°.

Итак, угол между прямой АК и плоскостью прямоугольника равен 45°.