В трапеции АВСD с основаниями ВС и АD ди- агонали пересекаются в точке М. Докажите, что тре- угольники МВС и МАD подобны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что у трапеции АВСD диагонали прямые.

Поскольку MD - высота в треугольнике MAB, то он равен MD=( \dfrac{2S{\Delta MAB}}{MA} ) = ( \dfrac{2S{\Delta MAB}}{MA} ), где S - площадь треугольника MAB.
Точно также можно записать исходный треугольник MCD, после чего по сравнению двух равенств запишем: ( \dfrac{2S{\Delta MAB}}{MA} ) = ( \dfrac{2S{\Delta MCD}}{MC} ) или ( \dfrac{S{\Delta MAB}}{S{\Delta MCD}}) = (\dfrac{MA}{MC} ).

Из расширения исходного отношения получаем: ( \dfrac{S{\Delta MAB}}{S{\Delta MCD}}) = (\dfrac{MA}{MC}) = (\dfrac{BC}{CD}) = (\dfrac{\frac{BC}{BD}}{\frac{CD}{BD}}) = (\dfrac{BT}{DT}), т.е. треугольники МВС и МАD подобны.