1. На рисунке MN || AC. а) Докажите, что AB·BN = СВ·ВМ. б) Найдите MN, если AM = 6 см, BM = 8 см, AС = 21 см. 2. Даны стороны треугольников PQR и ABC: PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см и АВ = 12 см, ВС = 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Из параллельности отрезков MN и AC следует, что треугольники AMB и ACB подобны.
Поэтому, соответственные стороны этих треугольников пропорциональны:
AB/BM = AC/CM
AB·BN = СВ·ВМ

б) Так как треугольники AMB и ACB подобны, то отношение сторон этих треугольников равно отношению сторон соответствующих сторон прямоугольных треугольников AMN и ACN:
AN/AM = AC/AB
MN = AM·(AC/AB) = 6·(21/12) = 10.5 см

Площадь треугольника равна половине произведения длин стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Так как стороны треугольников PQR и ABC пропорциональны, то площади этих треугольников также пропорциональны.
Отношение площадей треугольников PQR и ABC равно квадрату отношения длин сторон:
(S(PQR)/S(ABC)) = (PQ/AB)^2 = (16/12)^2 = 4/3^2 = 16/9

Ответ: отношение площадей треугольников PQR и ABC равно 16/9.