Определите площадь равностороннего треугольника, если от его плоскости удалена точка на расстоянии 8 см, а длины отрезков, проведенных от этой точки до сторон треугольника равны 10см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона равностороннего треугольника равна а. Обозначим высоту треугольника, проведенную из вершины до его основания, за h. Так как треугольник равносторонний, то высота также является медианой и биссектрисой, следовательно, точка, удаленная на 8 см от плоскости треугольника, является центром вписанной окружности.

Из теоремы о расстояниях от точки до прямой следует, что длина отрезка, проведенного от центра вписанной окружности до стороны треугольника, равна радиусу этой окружности, т.е. 8 см.
Также известно, что высота треугольника делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника, поэтому высота делиит сторону а пополам, т.е. h = a/2.

Если обозначить за x длину отрезка, проведенного от точки до ближайшей стороны треугольника, то для нахождения стороны a применим теорему Пифагора для одного из равнобедренных прямоугольных треугольников:

x^2 + (a/2)^2 = 10^2
и
(а - 2x)^2 + (a/2)^2 = 10^2

Решив данную систему уравнений, мы найдем значение стороны a, а зная сторону a, можем найти площадь треугольника:

S = (sqrt(3)/4)*a^2

Вычисления дают a = 22см, а S = 190,52 см^2.