В четырёхугольнике АВСD диагональ АС образует со сторонами АВ и AD равные углы и со сторонами CB CD также равны углы АВ=8см ВС=10см найдите периметр четырёхугольника ABCD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: AB = 8 см, BC = 10 см

Так как диагональ AC образует равные углы с сторонами AB и AD, то треугольник ABC - равнобедренный. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что углы ABC и ACB равны. Аналогично, за счет углов DAC и ACD, треугольник ADC - равнобедренный.

Поскольку диагональ AC делит четырехугольник на два равнобедренных треугольника, то он сам является равнобедренным. Значит, AD = AC = 8 см и ЦБ = СD = 10 см.

Теперь мы можем найти сторону CD через теорему косинусов:

CD² = BC² + BD² - 2BCBDcos(∠BCD)
CD² = 10² + 8² - 2108cos(∠BCD)
CD² = 100 + 64 - 160cos(∠BCD)

Так как углы BCD и BDC равны, ∠BCD = ∠BDC

По условию задачи угол BDC равен углу ACB, которая равна углу ABC. Значит, треугольник BCD - равнобедренный.

Пусть ∠BCD = α.
CD = 10√2cos(α)

10√2cos(α) = 100 + 64 - 160√2cos(α)
10√2cos(α) + 160√2cos(α) = 164
10√2cos(α) = 164 - 160√2cos(α)
10√2cos(α) = 164(1 - √2*cos(α))

cos(α) = 164/(10√2(1 - √2*cos(α)))
cos(α) = 8/5

Вычислим ∠BCD через закон косинусов:

BCD = arccos(8/5) ≈ 37.41°

Теперь можем рассчитать периметр четырехугольника ABCD:

AB + BC + CD + AD = 8 + 10 + 10√2 + 8 = 18 + 10√2 см

Периметр четырехугольника ABCD равен 18 + 10√2 см, что приближенно равно 33.83 см.