Прямая параллельна одной их сторон треугольника, делит его на две части так, что отношение площади образованного треугольника к площади образованного четырехугольника равно 4:5. В каком отношении эта прямая делит другие две стороны треугольника?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник имеет стороны a, b и c, а прямая, параллельная одной из сторон, делит сторону a на отрезки x и (a-x).

Так как отношение площади образованного треугольника к площади образованного четырехугольника равно 4:5, то имеем:

[∆AXB]/[∆XBDC] = [∆AXD]/[∆XBC] = 4/5.

Поэтому произведём некоторые вычисления, чтобы выразить стороны треугольника через a, b и c:

[∆AXB]/[∆XBDC] = [∆AXD]/[∆XBC] = AB/BC = AX/XD = 4/5,
[∆AXC]/[∆XBC] = AX/XC = 4/5,
(2x+b)/(x+b) = 4/5,
5(2x+b) = 4(x+b),
10x + 5b = 4x + 4b,
6*x = - b,
x = - b/6.

Далее найдем значения сторон треугольника через a, b и c:

2x = - 2b/6 = - b/3.

Учитывая это, мы можем выразить стороны треугольника через a, b и c:

b = - 3x,
2x = x/3,
a = x,
c = x/3.

Итак, прямая делит две другие стороны треугольника в отношении 1:3.