В прямоугольном треугольнике один катет равен 7, а другой на 2 больше. Найдите площадь треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны a и a+2, а гипотенуза равна c.

Так как треугольник прямоугольный, то выполняется теорема Пифагора:
a^2 + (a+2)^2 = c^2
a^2 + a^2 + 4a + 4 = c^2
2a^2 + 4a + 4 = c^2
2(a+1)^2 = c^2
(a+1)^2 = c^2 / 2
a+1 = c / √2
c = √2a + √2

Площадь прямоугольного треугольника равна S = (a * (a+2)) / 2

S = (a * (a+2)) / 2
S = (a^2 + 2a) / 2
S = a^2 / 2 + a

Из теоремы Пифагора знаем, что c^2 = a^2 + (a+2)^2, также c = √2a + √2
Тогда
a^2 + (a+2)^2 = (√2a + √2)^2
a^2 + a^2 + 4a + 4 = 2a + 2 + 2a√2
2a^2 + 4a = 2 + √2(4 + 2a)
2(a^2 + 2a) = 2 + √2(4 + 2a)
a^2 + 2a = 1 + √2(2 + a)
a^2 + 2a - √2(2 + a) - 1 = 0

Используем квадратное уравнение. Получаем 2 значения a.
a = 4 - 2 √2 и a = -2 - 2 √2

Так как сторона никогда не может быть отрицательной, то a = 4 - 2 √2
а+2 = 6 - 2 √2

Теперь подставляем найденные значения в формулу S = (a * (a+2)) / 2

S = ((4 - 2 √2)(6 - 2 * √2)) / 2
S = (24 - 20√2 - 12 + 8√2) / 2
S = (12 - 12√2) / 2
S = 6 - 6√2

Поэтому площадь треугольника равняется 6 - 6√2.