Найдите угол между высотой и медианой треугольника, проведенных из одной вершины, если медиана в 2 раза больше высоты.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота треугольника составляет угол α с основанием. Тогда, так как медиана в 2 раза больше высоты, она составляет угол 2α с этим же основанием.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим длину стороны треугольника за а, а длины медианы и высоты из одной вершины за m и h соответственно.

Тогда:
m^2 = h^2 + (а/2)^2 (теорема Пифагора для треугольника, в котором медиана является гипотенузой)
m = 2h (согласно условию задачи)
h^2 = (а/2)^2 - h^2
h^2 + h^2 = (а/2)^2
2h^2 = (а/2)^2
4h^2 = a^2

По теореме косинусов:
cos(γ) = (a^2 + 4h^2 - a^2) / (2 a 2h)
cos(γ) = 4h^2 / (4ah)
cos(γ) = h / a
cos(γ) = 2h / 2h
cos(γ) = 1

Таким образом, угол между высотой и медианой треугольника, проведенными из одной вершины, составляет 0 градусов.