В четырехугольнике, описанном около окружности три последовательные стороны равны между собой. Докажите, что все четыре стороны этого четырехугольника равны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан четырехугольник ABCD, описанный около окружности радиуса R. Предположим, что стороны AB, BC и CD равны между собой, то есть AB = BC = CD = x.

Так как четырехугольник описан около окружности, то углы, образованные его противоположными сторонами, будут смежными. Таким образом, углы ABC и ADC равны, так как являются углами, описанными над одной дугой окружности.

Так как углы ABC и ADC равны, а углы CAB и CAD равны из-за равенства сторон AC и AB (они равны радиусу окружности), то треугольники ABC и ADC равнобедренные. Из равнобедренности следует, что углы ACB и ACD равны, и поэтому треугольник ACD также равнобедренный.

Из равнобедренности треугольников следует, что AC = CD. Но так как AB = BC = CD = x, то получаем, что AC = x. Таким образом, все четыре стороны четырехугольника ABCD равны между собой.