На стороне АВ треугольника АВС взяты точки M и N так, что АМ:МТ:NВ = 1:2:3. Через точки М и N проведены прямые МЕ и NК параллельные стороне АС. Найдите площадь четырехугольника МNКЕ, если площадь треугольника АВС равна 10 см2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника АВС буквами
AB = a, BC = b, AC = c.

Так как AM:MT:NB = 1:2:3, то AM = x, MT = 2x, NB = 3x.

Так как МЕ || AC, то треугольники AME и ABC подобны, и их соответствующие стороны пропорциональны
AM/AB = ME/B
x/a = ME/
ME = b * x / a.

Аналогично, так как NK || AC, то треугольники BNC и ABC подобны, и их соответствующие стороны пропорциональны
NB/AB = NK/B
3x/a = NK/
NK = 3b * x / a.

Теперь найдем высоты треугольников AME и BNC из вершин M и N соответственно:

h1 = c - b x /
h2 = c - 3b x / a.

Теперь можем выразить площадь четырехугольника MNKE через найденные высоты и стороны
S = (h1 + h2) ME /
S = ((c - b x / a) + (c - 3b x / a)) (b x / a) /
S = (2c - 4b x / a) (b x / a) /
S = (2 a c x - 4 b x^2) / 2
S = a c x - 2b x^2.

Так как треугольник ABC имеет площадь 10 см^2, то
10 = 0.5 a
20 = a * c.

Подставляем это в выражение для площади четырехугольника MNKE
S = 20 x - 2b x^2.

Площадь четырехугольника MNKE равна 20 x - 2b x^2.