Медиана, выходящая из вершины А треугольника АВС, продлена до пересечения в точке А1 с описанной окружностью. Найдите длину АА1, если медиана равна m, а сторона ВС=а

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку медиана из вершины А треугольника АВС делится пополам стороны ВС, то точка М, середина стороны ВС, является серединой отрезка АА1. Таким образом, АМ = МА1 = 0.5m.

Также известно, что медиана треугольника делит сторону, на которую опущена, в отношении 2:1. Следовательно, АМ = 2r, где r - радиус описанной окружности.

Используя теорему Пифагора для треугольника АА1М, получаем
АА1^2 = (0.5m)^2 + (2r)^
АА1^2 = 0.25m^2 + 4r^2

Для вычисления АА1 нужно найти радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности треугольника с гипотенузой m и катетом a/2 (поскольку медиана делит сторону на 2) вычисляется по формуле
r = √[(m^2 + (a/2)^2) / 2]

Подставляем значение радиуса описанной окружности в уравнение для АА1
АА1^2 = 0.25m^2 + 4[(m^2 + (a/2)^2) / 2
АА1^2 = 0.25m^2 + 2(m^2 + (a/2)^2
АА1^2 = 0.25m^2 + 2m^2 + a^2/
АА1^2 = 2.25m^2 + a^2/2

Таким образом, длина АА1 равна
АА1 = √(2.25m^2 + a^2/2)