АВСD- параллелограмм, О- точка пересечения диагоналей. Докажите,что: а)(векторы)ОС+ АВ+DA+CD=AO +DA; б)(векторы) CA-CD=OA-OD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Определим сначала векторы.

Вектор ОС = Вектор OD + Вектор DC

Вектор АВ = Вектор AO + Вектор OB

Вектор DA = Вектор DO + Вектор OA

Вектор CD = Вектор CO - Вектор DO

Теперь подставим эти векторы в уравнение:

Вектор ОС + Вектор АВ + Вектор DA + Вектор CD = Вектор AO + Вектор DA

(Вектор OD + Вектор DC) + (Вектор AO + Вектор OB) + (Вектор DO + Вектор OA) + (Вектор CO - Вектор DO) = Вектор AO + Вектор DO + Вектор OA

Упростим:

Вектор OA + Вектор CO + Вектор OB = Вектор OA + Вектор DO + Вектор OA

Сократим одинаковые векторы:

Вектор CO + Вектор OB = Вектор DO

Таким образом, доказано утверждение а).

б) Для доказательства утверждения б) воспользуемся свойством параллелограмма: вектор, соединяющий середины двух противоположных сторон параллелограмма, равен полусумме его диагоналей.

Вектор ОА = Вектор OC + Вектор CA

Вектор OD = Вектор OC + Вектор CD

Вследствие этого имеем:

Вектор CA - Вектор CD = (Вектор ОА - Вектор OC) - (Вектор OD - Вектор OC)

Вектор CA - Вектор CD = Вектор ОА - Вектор OD

Следовательно, доказано утверждение б).