Через вершину C параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке F, а прямую AB - в точке O. Докажите, что треугольник FDC подобен треугольнику FAO

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Из условия задачи имеем параллелограмм ABCD, а значит, у него противоположные стороны равны: AB = DC и AD = BC.

Также из условия задачи известно, что прямая, проходящая через вершину C параллелограмма ABCD, пересекает сторону AD в точке F и сторону AB в точке O.

Из построения видно, что AF || DC (по свойству параллельных прямых), а также \angle BAF = \angle CDF (по свойству параллельных прямых и вертикальным углам, так как угол BAD и угол CDA смежные и равны). Также AC = BD, так как ACDB - параллелограмм.

Треугольники FCD и FCA подобны по двум углам, так как \angle FCD = \angle CAF (как вертикальные), и \angle FCA = \angle DCF (как вертикальные) и по общей стороне FC.

Таким образом, треугольники FCD и FCA подобны исходя из угла и противоположной стороны исходного параллелограмма ABCD.

Также, так как треугольники FCA и FAO подобны, то треугольники FCD и FAO также подобны, так как оба треугольника FCD и FCA подобны и треугольник FAO подобен треугольнику FCA.

Таким образом, треугольник FDC подобен треугольнику FAO.