Задача по геометрии хорды CD и AB окружности пересекаются в точке O, CO=3см, OD=4см, AD=3 см, OB-AO=4см. вычислите длину хорды BC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим картинку по условию задачи:

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим длину хорды BC как х.

Поскольку радиус окружности является перпендикуляром к хорде в точке её пересечения с окружностью, то длина хорды BC равна произведению двух отрезков, на которые хорда делит радиус:
BC OC = AC OD.

Так как CO = 3 см и OD = 4 см, то AC = 4 см + 3 см = 7 см.

Далее рассмотрим треугольники ADO и BCO.
ACD является пополам суммы дуг AB и CD, поэтому AC = (AB + CD) / 2 = (AO + OB) / 2.
Так как AB = AO + OB = OC = AD = AO + BO, то получаем равенство OB = AD - OB + CO = 3 см.
Также из треугольника BCO по теореме косинусов:
Х^2 = BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 OB OC cos(BCO).
cos(BCO) = (OB^2 + OC^2 - BC^2) / (2 OBOC) = (3^2 + 4^2 - x^2) / (24).

Подставляя значения и решив уравнение, получим:
X^2 = 9 + 16 - X^2 - 4 X sqrt(25) + 24
2 X^2 + 4 X * 5 - 49 = 0
X = (-20+ sqrt(420)) / 2 = 5 см.

Таким образом, длина хорды BC равна 5 см.