Биссектриса угла параллелограмма делит его диагональ на отрезки длины 3 и 4. Один из углов параллелограмма в пять раз меньше суммы остальных углов. Найти площадь параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через ( x ) угол параллелограмма, который в пять раз меньше суммы остальных углов. Тогда сумма остальных углов равна ( 5x ).

Так как у параллелограмма смежные углы смежными диагоналями равны, то смежные углы параллелограмма равны, следовательно, угол параллелограмма равен ( 2x ).

Также из свойства биссектрисы угла в треугольнике следует, что отношение длин сторон треугольника, образуемого биссектрисой, равно отношению длин сторон самого треугольника.

Таким образом, мы можем записать:
[
\frac{3}{4} = \frac{AB}{DC},
]

где AB и DC - оставшиеся стороны параллелограмма. Из этого уравнения найдем, что ( DC = \frac{4}{3} \cdot AB ), и так как стороны параллелограмма параллельны диагоналям, то ( DC = AB ).

Из условия задачи можем записать следующее уравнение:
[
2x + 5x + 2x + 5x = 360^{\circ}.
]

Отсюда получаем, что ( x = 36^{\circ} ).

Поскольку один из углов параллелограмма равен 36 градусам, все углы параллелограмма равны 36 градусам.

Так как сумма углов в параллелограмме равна 360 градусов, то его площадь равна произведению длин его сторон на синус одного из углов, то есть ( S = AB \cdot BC \cdot \sin(36^{\circ}) ).

Так как диагонали параллелограмма делятся биссектрисой на отрезки длины 3 и 4, то стороны треугольника ( \triangle ABD ) равны 3, 4 и 5. Так как угол B равен 36 градусов, то площадь треугольника равна ( S_{\triangle ABD} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 ), следовательно, ( S = 6 ).

Таким образом, площадь параллелограмма равна 6.