Диагонали треугольника 3 дм и 8 дм найти периметр четырехугольника вершинами которого служат середины сторон данного треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины сторон треугольника. Поскольку нам известны длины диагоналей, можно воспользоваться формулой, которая связывает диагонали треугольника с его сторонами:

( d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + c^2 ),

где ( d_1 ) и ( d_2 ) - длины диагоналей, ( a, b, c ) - стороны треугольника.

Подставляем известные значения ( d_1 = 3 ) дм и ( d_2 = 8 ) дм:

( 3^2 + 8^2 = a^2 + b^2 + c^2 ),

( 9 + 64 = a^2 + b^2 + c^2 ),

( 73 = a^2 + b^2 + c^2 ).

Теперь найдем длины сторон треугольника по формулам полу-периметра П и площади S:

( P = 2 \cdot \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} ),

( S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4} ).

Подставим известные значения:

( P = 2 \cdot \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} ),

( S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4} ).

Известно, что ( a = b = d_1/2 ) и ( c = d_2/2 ):

( P = 2 \cdot \sqrt{\frac{2(d_1/2)^2 + 2(d_1/2)^2 - (d_2/2)^2}{4}} ),

( S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2(d_1/2)^2 \cdot (d_1/2)^2 + 2(d_1/2)^2 \cdot (d_2/2)^2 + 2(d_2/2)^2 \cdot (d_1/2)^2 - (d_1/2)^4 - (d_1/2)^4 - (d_2/2)^4} ).

Подставляем значения и решаем уравнения. Получаем значения сторон треугольника ( a, b, c ). Далее находим периметр четырехугольника, который будет равен сумме сторон этого четырехугольника.