В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция, BC || AD, причем AB=3 см, AD=5 см. Диагональ призмы B1D образует с плоскостью основания угол, равный 45, а плоскости AA1B1 и B1BD перпендикулярны. Найдите объемы призмы?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения диагоналей B1D и A1C1 за O.

Так как ABCDA1B1C1D1 - равнобедренная призма, то AB1 = AB = 3 см и AD1 = AD = 5 см.
Также из условия имеем, что B1O = OD1 и B1D1 = 2B1O.

Так как треугольник B1D перпендикулярен плоскости основания ABCDA1B1C1D1, то у него есть общий перпендикуляр с этой плоскостью. Заметим, что B1O и OD1 - это общий перпендикуляр. Тогда B1D перпендикулярен к основанию и его можно рассматривать, как высоту призмы.

Теперь найдем высоту призмы. В треугольнике B1OD1 по теореме косинусов:
B1D1^2 = B1O^2 + OD1^2 - 2B1OOD1*cos45.

Подставляем значения и находим B1O = OD1 = B1D1/root2 = 1.5*root2 см.

Теперь можем найти объем призмы:
V = S_osnh = (S_b+ S_a)h,
где S_osn - площадь основания, S_a и S_b - площади боковых граней, h - высота призмы.

S_a = S_b = 0.5AB1B1D1 = 0.531.5root2 = 2.25root2,
S_osn = AB1AD = 3*5 = 15.

Тогда V = (15 + 22.25root2)1.5root2 = 47.25 см^3.

Ответ: объем призмы равен 47.25 см^3.