Стороны AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC продолжены за точки A, B и C на отрезки AM, BK и CP так, что MA : AB = KB : BC = PC : CA = 2 : 1. Докажите, что треугольник MPK равносторонний.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия имеем, что MA : AB = 2 : 1, KB : BC = 2 : 1 и PC : CA = 2 : 1.

Так как MA : AB = 2 : 1, то AM = 2AB.

Аналогично, из KB : BC = 2 : 1 следует, что BK = 2BC.

Из PC : CA = 2 : 1 получаем, что CP = 2CA.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Поскольку AB = BC = CA (треугольник равносторонний), то AM = BK = CP (в соответствии с полученными равенствами).

Таким образом, AM = BK = CP, что означает, что точки P, K и M лежат на одной прямой и равноудалены от точек A, B и C. Получаем, что треугольник MPK равносторонний.